4.2 对数与对数函数

4.2 对数与对数函数4.2.1 对数​对数的概念​在 指数函数 y=ax(a>0,且a≠1)y = a^x \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1)y=ax(a>0,且a=1) 中，

对于 xxx 在实数集 R\mathbf{R}R 内的每一个值，yyy 在正实数集内都有唯一确定的值和它对应；

反之，对于 yyy 在实数集内的每一个确定的值 NNN ， xxx 在 R\mathbf{R}R

内都有唯一确定的值 bbb 和它对应。

ab=N(a>0,且a≠1,N>0)\Huge a^b = N \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1, N > 0)ab=N(a>0,且a=1,N>0)上式称为幂指数 bbb 是以 aaa 为底的 对数。

常用符号 log⁡\LARGE \loglog （拉丁文 logarithm 的缩写）表示对数。

以 aaa 为底 NNN 的对数 bbb ，记作：

b=log⁡aN(a>0,且a≠1)\Huge b = \log _a N \quad (a > 0, \text{且} a \not = 1)b=loga​N(a>0,且a=1)上式中 log⁡\loglog 右下角的数 aaa 叫做 底数，

NNN 叫做 真数，bbb 是以 aaa 为底 NNN 的 对数。

实质上，对数式 不过是 指数式 的另一种表达形式而已。

例如，34=81\Large 3^4 = 8134=81 与 4=log⁡381\Large 4 = \log _3 814=log3​81 表达的是同一关系。

对数恒等式​因为 ab=N\Large a^b = Nab=N ，根据对数的定义 b=log⁡aN\Large b = \log _a Nb=loga​N ，

于是得到下面的对数恒等式：

alog⁡aN=N\Huge a^{\log _a N} = Naloga​N=N例如：

2log⁡232=3210log⁡10100=100\large 2^{\log _2 32} = 32 \qquad 10^{\log _{10} 100} = 1002log2​32=3210log10​100=100对数的性质​根据对数的定义，在 a>0a > 0a>0 且 a≠1a \not = 1a=1 时，对数具有以下性质：

log⁡aa=1\large \log _a a = 1loga​a=1 ，即底的对数等于 1；log⁡a1=0\large \log _a 1 = 0loga​1=0 ，即 1 的对数为 0;0 和负数没有对数；常用对数​底是 10 的对数叫做 常用对数。

为了简便，通常把底 10 略去不写，并把“ log⁡\large \loglog ”写成“ lg⁡\large \lglg ”，

即把 log⁡10N\large \log _{10} Nlog10​N 记作 lg⁡N\large \lg NlgN 。

例如，100 的常用对数可以记为：lg⁡100\lg 100lg100

4.2.2 积、商、幂的对数运算法则​正因数的积的对数等于各因数对数的和​log⁡a(MN)=log⁡aM+logaN\Huge \log _a (MN) = \log _a M + log _a Nloga​(MN)=loga​M+loga​N因为同底数的幂相乘，不论有多少因数，都是把指数相加，

所以这个运算法则可推广到若干个正因数的积：

log⁡a(N1N2⋯Nk)=log⁡aN1+log⁡aN2+⋯+log⁡aNk\large \log _a (N_1 N_2 \cdots N_k) = \log _a N_1 + \log _a N_2 + \cdots + \log _a N_kloga​(N1​N2​⋯Nk​)=loga​N1​+loga​N2​+⋯+loga​Nk​两个正数商的对数等于被除数的对数减去除数的对数​log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN\Huge \log _a \frac{M}{N} = \log _a M - \log _a Nloga​NM​=loga​M−loga​N正数幂的对数等于幂的指数乘幂的对数​log⁡aMb=blog⁡aM\Huge \log _a M^b = b \log _a Mloga​Mb=bloga​M4.2.3 换底公式与自然对数​换底公式​log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\Huge \log _b N = \frac{\log _a N}{\log _a b}logb​N=loga​bloga​N​换底公式的解释​利用 常用对数 ，可以求得任意一个正数的以 10 为底的对数。

现在举例说明，如何根据对数的性质，由以 10 为底的对数，求以其他正数

a(a≠1)\large a (a \not = 1)a(a=1) 为底的对数。

求 log⁡35\LARGE \log _3 5log3​5 （精确到 0.001\large 0.0010.001）：

设 log⁡35=x\log _3 5 = xlog3​5=x ，写成指数形式得 3x=53^x = 53x=5两边取常用对数得 lg⁡3x=lg⁡5\lg 3^x = \lg 5lg3x=lg5 ，即 xlg⁡3=lg⁡5x \lg 3 = \lg 5xlg3=lg5所以x=lg⁡5lg⁡3≈0.69900.4771≈1.465\large x = \frac{\lg 5}{\lg 3} \approx \frac{0.6990}{0.4771} \approx 1.465x=lg3lg5​≈0.47710.6990​≈1.465计算过程中的近似数的精确度一般比结果要求的多取一位小数。

即 log⁡35≈1.465\Large \log _3 5 \approx 1.465log3​5≈1.465换底公式的证明​设 log⁡bN=x\log _b N = xlogb​N=x 则 bx=Nb^x = Nbx=N 。

两边取以 a(a>0,且a≠1)a (a > 0, \text{且} a \not = 1)a(a>0,且a=1) 为底的对数，得：

∵xlog⁡aN=log⁡aN∴x=log⁡aNlog⁡ab∴log⁡bN=log⁡aNlog⁡ab\large \begin{align*} & \because \quad & x \log _a N &= \log _a N \\ & \therefore \quad & x &= \frac{\log _a N}{\log _a b} \\ & \therefore \quad & \log _b N &= \frac{\log _a N}{\log _a b} \end{align*}​∵∴∴​xloga​Nxlogb​N​=loga​N=loga​bloga​N​=loga​bloga​N​​自然对数​在科学技术中，常常使用以无理数

（自然常数）

e=2.71828⋯e = 2.718 28 \cdotse=2.71828⋯ 为底的对数。

以 eee 为底的对数叫做 自然对数。

自然常数e这个数，怎么就自然了？_哔哩哔哩_bilibili

log⁡eN通常记作：ln⁡N\Huge \log _e N \text{\large 通常记作：} \Huge \ln Nloge​N通常记作：lnN自然对数与常用对数的关系​根据对数的换底公式，可得自然对数与常用对数的关系：

ln⁡N=lg⁡Nlg⁡e≈lg⁡N0.4343ln⁡N≈2.3026lg⁡N\Huge \begin{align*} \ln N &= \frac{\lg N}{\lg e} \approx \frac{\lg N}{0.4343} \\ \ln N & \approx 2.3026 \lg N \end{align*}lnNlnN​=lgelgN​≈0.4343lgN​≈2.3026lgN​实际上，用计算器可直接求自然对数。

例如，求 ln⁡34\ln 34ln34 （精确到 0.0001），可用计算器计算：

按键 MODEMODEMODE 141 \quad 414

按键显示ln⁡\lnln 34 ===3.5264所以， ln⁡34≈3.5264\ln 34 \approx 3.5264ln34≈3.5264

4.2.4 对数函数​y=log⁡ax(a>0,a≠1,x>0)\Huge y = \log _a x (a > 0, a \not = 1, x > 0)y=loga​x(a>0,a=1,x>0)上式叫做 对数函数。

分析对数函数图像​做出 y=log⁡2xy=log⁡12x\Large y = \log _2 x \quad y = \log _ \frac{1}{2} xy=log2​xy=log21​​x 的函数图像：

首先做 x,yx, yx,y 值的对应值表。

这个表简便的做法是把 4.1.3 节的两个指数函数

y=2xy=(12)xy = 2^x \qquad y = (\frac{1}{2}) ^xy=2xy=(21​)x的数值表里 xxx 和 yyy 的数值对换，就可得到下面的两个数值表，

并在同一坐标系里，用描点发画出图像：

从这两个函数的的对应值表和图像可看到，

y=log⁡2xy = \log _2 xy=log2​x 在区间 (0,−∞)(0, - \infty)(0,−∞) 上是增函数，

而 y=log12xy = log _ \frac{1}{2} xy=log21​​x 在 (0,+∞)(0, + \infty)(0,+∞) 上是减函数。

这两个函数定义域相同，并且它们的图像都通过点 (1,0)(1, 0)(1,0) 。

对数函数的性质​对数函数 y=log⁡ax(a>0,a≠1)\Large y = \log _a x (a > 0, a \not = 1)y=loga​x(a>0,a=1) 具有下列性质：

定义域是正实数集。值域是 R\mathbf{R}R。当 x=1x = 1x=1 时， y=0y = 0y=0 ，即函数的图像都通过点 (1,0)(1, 0)(1,0) 。在其定义域内，当 a>1a > 1a>1 是增函数，当 0